Derivabilidad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.


Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

gráfica


función

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

derivada

función

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.

gráfica


f(x) = x2 en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

derivabilidad

En x = 0 la función es continua y derivable.

gráfica


Dada la función:

Función a trozos

¿Para qué valores de a es derivable?

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función trozos

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

Función trozos

Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la función.

Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.


Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:

Función a trozos

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad

Continuidad y derivabilidad


Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:

Función a trozos

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Estudio del otro punto

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas.

Derivada de f(x)

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.