Si una función es derivable en un punto , entonces es continua en .

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. A continuación veremos algunos ejemplos donde podemos estudiar estas afirmaciones.

 

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

1 Consideremos

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en . Notemos que

 

 

entonces la función no es continua en , por tanto tampoco es derivable.

 

Ejemplo grafica no continua

 

2 Consideremos

 

En primer lugar estudiamos la continuidad en :

 

 

Tenemos que la función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad

 

 

Puesto que no coinciden las derivadas laterales no es derivable en .

 

Ejemplo grafica no derivable

 

3 Consideremos :

Tenemos que la función es continua en , por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

 

 

Es decir, tenemos que en la función es continua y derivable.

 

Ejemplo grafica continua y derivable

 

4 Estudiar para qué valores de y la función es continua y derivable:

 

Notemos que

 

 

es decir, para que sea continua en se debe tener que .

Ahora bien, considerando veamos que valor debe tomar para que sea derivable.

 

 

Tenemos que

 

Por lo tanto, se debe tomar .

 

5 Determinar los valores de y para que la siguiente función sea derivable en todos sus puntos:

 

Para qué una función sea derivable tiene que ser continua, notemos que en este caso la función no es continua para cualesquiera que sean y , es decir, no existen valores de y que hagan continua la función y por tanto, no existen y para los cuales la función sea derivable.

 

6 Estudiar para qué valores de y la función es continua y derivable:

 

Notemos que

 

 

entonces para que sea continua en se debe tener que

 

 

Por otro lado para

 

 

entonces, para que sea continua en se debe tener que

 

 

Por tanto para y la funcion es continua en todo .

Ahora bien, tenemos

 

 

Notemos que

 

 

por tanto, no es derivable en y

 

 

Es decir, es derivable en .

 

6 Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por

 

La función no es continua en porque no tiene imagen, por tanto tampoco es derivable en ese punto.

Ahora bien en :

 

 

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonómetricas inmediatas

 

 

y notemos que

 

 

Puesto que las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗