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Vamos

Radicales y sus derivadas

 

Definimos a la raíz enésima como la función inversa de la enésima potencia. En otras palabras, si tenemos

 

 

entonces . Asimismo, denotamos los radicales como . De este modo, si tenemos la función , entonces podemos calcular su derivada utilizando la regla de la derivada de una potencia:

 

 

Si notamos que , entonces tenemos

 

 

Es decir,

 

 

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena (con ), entonces

 

 

Nota: No es necesario memorizar la fórmula para la derivada de una raíz. Basta con recordar que y luego utilizar la regla de la derivada de una potencia. Sin embargo, podemos ahorrar tiempo al calcular las derivadas si nos aprendemos la fórmula.

 

Nota: El caso particular de la raíz cuadrada (con ) tiene la derivada

 

 

La cual es una derivada bastante común.

 

Ejercicios resueltos

 

1 Calcula la derivada de la siguiente función

 

 

Para calcular la derivada basta con utilizar la fórmula de la raíz cuadrada.

 

Notemos que , por lo que . Así, si utilizamos la fórmula con la regla de la cadena, tenemos

 

 

2 Calcula la derivada de la siguiente función

 

 

Utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena, con y :

 

 

es decir

 

 

Observemos que, en lugar de utilizar la fórmula, podemos trabajar con la función como

 

 

por lo que la derivada sería

 

 

como , entonces tenemos

 

 

Luego pasamos la potencia negativa al denominador y simplificamos la fracción:

 

 

que es exactamente el mismo resultado que habíamos obtenido previamente. Aquí podemos observar que es más rápido derivar si nos aprendemos la fórmula de la derivada de una raíz

 

3 Deriva la siguiente función

 

 

Aquí también utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena. En este caso tenemos , por lo que . Así,

 

 

Por lo que

 

 

4 Obtén la derivada de la siguiente función

 

 

Como en los ejemplos anteriores, sólo es cuestión de aplicar la fórmula con y . Así,

 

 

la cual ya no se puede simplificiar.

 

5 Calcula la derivada de la siguiente función

 

 

Notemos que el radicando es una función más complicada que las anteriores. Por este motivo, conviene utilizar la fórmula directamente pero derivar aparte la función

 

 

cuya derivada es, por medio de la regla de la cadena,

 

 

Por lo tanto, la derivada es

 

 

Luego metemos el término dentro de la raíz; por lo tanto, debemos elevarlo a la sexta potencia dentro de la raiz:

 

 

La cual es la derivada que buscábamos.

 

6 Deriva la siguiente función

 

 

Al igual que en el caso anterior, conviene primero derivar al argumento de la raiz:

 

 

cuya derivada es

 

 

De este modo, la derivada de la función es

 

 

Metemos el término dentro del radical:

 

 

La cual es la derivada que estábamos buscando.

 

Observa que podemos simplificar, al notar que el radicando cumple

 

 

Nota que , por lo que tenemos que

 

 

sin embargo no es siempre positivo, por lo que

 

 

de esta forma

 

 

Que es lo más que se puede simplificar.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗