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Vamos

Fórmula de la derivada del seno

 

Consideremos la función , entonces su derivada está dada por

 

 

Si consideramos que el argumento es una función , es decir, , entonces la derivada es

 

 

para poder utilizar la regla de la cadena.

 

Demostración: Para demostrar que la derivada del seno es el coseno, debemos recordar dos límites notables:

 

 

y

 

 

Con esto, ya podemos encontrar el límite de utilizando la definición. Utilizaremos la identidad de la suma de ángulos para el seno:

 

 

por lo que la derivada es:

 

 

Ejemplos

 

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

 

1

 

Aquí debemos utilizar la regla de la cadena con , por lo que y

 

 

2

 

Al igual que en el ejemplo anterior, utilizamos la regla de la cadena. En este caso y . Por lo tanto,

 

 

3

 

Ahora el argumento del seno es . Tenemos que por lo que

 

 

4

 

Notemos que . Por tanto, debemos utilizar la regla de la cadena, pero utilizando . De este modo:

 

 

Sin embargo, y , por lo que

 

 

5

 

Al igual que en el caso anterior, tenemos una regla de la cadena donde . Por tanto,

 

 

Luego, como y , entonces

 

 

Por lo tanto, la derivada es

 

 

6

 

Aquí tenemos doble composición. Podemos notar que y que (ahí utilizamos ya la regla de la cadena). Por tanto,

 

 

Por lo que

 

 

7

 

A partir de este ejercicio ya no utilizaremos para denotar algunas funciones en la composición de estas. Por el contrario, iremos derivando y explicando cada paso:

 

 

Donde sólo hemos derivado la raíz. Ahora, derivamos el cociente:

 

 

Por último, simplificamos:

 

 

Todavía podemos simplificar un poco más:

 

 

que es lo más que podemos simplificar:

 

 

Debemos tener cuidado en no decir que , ya que eso no es verdad.

 

8

 

Para derivar esta función, observemos que

 

 

A partir de aquí sólo debemos repetir la regla de la cadena:

 

 

que es el resultado de la derivada.

 

9

 

Utilizamos la regla de la cadena depetidamente:

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗