Derivadas de funciones

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Función derivada


Ejemplos

Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

Función derivada

Función derivada

Función derivada

Función derivada

Función derivada

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1


Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

función

función

función

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

gráfica


Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

función

función

función

No es derivable en x = 0.

gráfica


Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

cálculo de derivadas

cálculo de derivadas

La función es continua en toda R.

cálculo de derivadas

f'(−2) = −1f'(−2)+ = 1

No será derivable en: x= -2.

cálculo de derivadas

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.


Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

Derivabilidad

Derivabilidad

Derivabilidad

La función es continua en toda R.

Derivabilidad

f'(2)- = −1f'(2)+ = 1

f'(3)- = −1f'(3)+ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

cálculo de derivadas

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.






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