Interpretación geométrica de la derivada
Geométricamente la derivada de una función 
en un punto 
es la pendiente de la recta
tangente a que pasa por el punto 
Siguiendo la figura: consideramos dos puntos 
y 
trazamos la recta secante entre ellos. Esta secante forma un ángulo 
con la horizontal. Dado que deseamos hallar la pendiente de la recta tangente, notemos que dicho valor es 
, donde
es el ángulo entre el eje de las 
y la recta tangente.
Volviendo al ángulo , tenemos que
donde 
Cuando el valor 
tiende a 
el punto 
tiende a confundirse con el punto 
Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función en 
y por tanto el ángulo tiende a ser 
Por lo tanto se sigue que
Ejemplos
1 Dada 
calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
por tanto su pendiente es 
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto 
.
Por lo tanto se sigue que 
y al evaluar en la función se tiene que el punto buscado es 
2 Dada la curva de ecuación 
halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje 
un ángulo de 
Ahora, de la fórmula para la derivada debemos depejar el valor de 
Así 
, finalmente evaluando en la función se sigue que
y el punto buscado es 
3 Determinar los valores del parámetro 
para qué las tangentes a la curva de la función 
en los puntos de abscisas 
sean paralelas.
y 
sean iguales.La derivada de la función es
De esta forma,
Esto último implica que 
ó 
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido 
y el tiempo transcurrido 
Si la trayectoria es guiada por una función 
y consideramos un tiempo transcurrido 
tenemos la siguiente formula para la velocidad media
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando 
tiende a cero, es
decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
Ejemplos
1 La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es 
. Calcular:
a) La velocidad media entre 
y 
b) La velocidad instantánea en 
b) La velocidad instantánea es la derivada en 
2 ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación 
en el quinto segundo de su recorrido?
Solo debemos calcular la velocidad instantanea en el instante
3 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función 
siendo 
el tiempo medido en horas. Se pide:
a) La velocidad media de crecimiento.
b) La velocidad instantánea de crecimiento.
c) La velocidad de crecimiento instantáneo para 
horas.
b)Está dada por el siguiente limite
c) Solo debemos evaluar la fórmula anterior en 
lo que nos da
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4