Interpretación de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

Interpretación gráfica

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

mt = f'(a)


Ejemplos

Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

derivada

derivada

punto

gráfica


Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición


Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.

Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.

f'(1) = f'(2)

f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3

f'(1) = 3b2 + 2b + 3

f'(2) = 12b2 + 4b + 3

3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3

9b2 + 2b = 0

b = 0 b = −2/9


Interpretación física de la derivada

Velocidad media

La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

Velocidad media

Interpretación física


Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Velocidad instantánea


Ejemplo

La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:

1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

vm

2 La velocidad instantánea en t = 1.

La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

vi

vi

vi


¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Cálculo de derivadas por la definición

Cálculo de derivadas por la definición


Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:

1. La velocidad media de crecimiento.

Solución

Solución

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

Solución

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

Solución