Optimización

En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.

2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.

4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.

5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.


Problemas de optimización

De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

Triángulo

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Ärea

Relacionamos las variables:

2 x + 2 y = 12

x = 6 − y

Sustituimos en la función:

Sustitución

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Raíces de la derivada

Raíces de la derivada

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Derivada 2ª

Derivada 2ª

Derivada 2ª

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.


Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.

Figura

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

Figura

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantees formados sea mínima.

Solución

Solución

Solución

El diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.


Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.

Gráfica

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Triángulo inscrito en un círculo

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

REsolución

Derivada segunda

Derivada segunda

Derivada segunda


Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?

Triángulo

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Resolución

Derivada segunda

Derivada segunda

Derivada segunda






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