Puntos de inflexión

En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Punto de inflexión

Punto de inflexión

Punto de inflexión


Cálculo de los puntos de inflexión

f(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)


Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad

Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Ejercicios

Dominio, simetría y puntos de corte

Dominio, simetría y puntos de corte

Dominio, simetría y puntos de corte

Monotonía y extremos

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de concava a convexa.

punto de inflexiónPunto de inflexión (0, 0)



dominio, simetría y puntos de corte

Dominio

dominio, simetría y puntos de corte

Monotonía y extremos

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión

Curvatura y puntos de inflexión


Problemas

Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

f'(x) = 6x2− 12xf''(x) = 12x − 121

2x − 12 = 0x = 1

f'''(x) = 12 f'''(1) ≠ 0 f(1) = 0

Punto de inflexión: (1, 0)

f′(1) = 6 − 12= − 6 = m

y − 0 = −6(x − 1)y = −6x + 6


La curva f(x) = x3 + ax2 + bx + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución


Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.

f'(x) = 3 x 2 − 6x+ 7

f''(x) =6 x − 6

6 x − 6 = 0 x= 1

f'''(x) =12 f'''(1) ≠ 0 f(1)= 6

Punto de inflexión: (1, 6)

m t = f′(1) = 4 m n = −1/4

Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0

Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0


Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX.

f'(x) = 3 x2 + 2 ax + b f''(x) = 6x + 2a

f'(1) = 1 3 + 2a + b = 1

f''(1) = 0 6 + 2a = 0

a = − 3 b = 4





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