Ejercicios de los teoremas de Rolle, Lagrange. Regla de L'Hôpital

1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

función

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

imagen

límite

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

derivada

derivadas laterales

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.


2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?

En primer lugar calculamos el dominio de la función.

dominio

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en intervalo.

Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

c


3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.

La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en R·

Teorema de Bolzano.

f(−1) = −1

f(0) = 3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.


4.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?

f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

teorema del valor medio

solución


5.Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2].

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinómicas.

Y además g(0) ≠ g(2).

teorema de Cauchy

c pertenece [0, 2]

g'(0) 0

Se puede aplicar el teorema de Cauchy.


Resolver los siguientes límites

1.límite

límite

solución

2.límite

indeterminación

operaciones

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

comparación de infinitos

solución

límite

límite

límite

solución

límite

límite

límite


3.límite

límite

solución

4.límite

límite

solución

6.límite

límite

operaciones

solución

7.operaciones

límite

operaciones

A

solución

8.límite

indeterminación

operaciones

solución

9.límite

indeterminación

operaciones

solución

10.límite

indeterminación

operaciones

operaciones

operaciones

solución

11.límite

y determinación

operaciones

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

operaciones

operaciones

operaciones

operaciones

solución

12.límite

indeterminación

operaciones

operaciones

solución






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