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Ejercicios del teorema de Rolle
1Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo 
de la función:
1 En primer lugar comprobamos que la función es continua en 
. Para ello calculamos los límites laterales
Como los límites laterales son iguales, entonces 
.
Calculamos 
. Como el límite en coincide con su evaluación, entonces la función es continua en .
2 En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en , para esto derivamos la función
Como 
, entonces concluimos que la función no es derivable en 
, luego la función no es derivable en el intervalo 
y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.
2¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función 
en el intervalo 
?
1 En primer lugar calculamos el dominio de la función
2 La función es continua en el intervalo y derivable en 
, porque los intervalos están contenidos en 
Además se cumple que 
, por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
3Comprobar que la ecuación 
tiene una única solución real.
1 Como se trata de un polinomio, entonces la función es continua y derivable en todo 
2 Verificamos el teorema de Bolzano en el intervalo 
, para ello evaluamos en los extremos el intervalo
y 
, por tanto es aplicable el teorema de Bolzano y se tiene que existe una raiz en el intervalo 
.
3 Verificamos el teorema de Rolle, para ello derivamos la función
Como la derivada no se anula en ningún valor (siempre es positiva) está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.
Ejercicio del teorema de Lagrange
4¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a 
en 
?
1 Verificamos que la función sea continua en el intervalo 
lo cual se cumple ya que la función es polinomial.
2 Verificamos que la función sea derivable en el intervalo 
lo cual se cumple ya que 
es polinomial
3 Se cumplen las hipótesis del teorema de Lagrange, por lo que existe 
tal que
Obtenemos los valores 
. Tomamos 
, ya que 
y observamos que 
.
Ejercicio del teorema de Cauchy
5Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones y 
en el intervalo 
.
1 Las funciones 
y 
son continuas en el intervalo y derivables en 
, por ser funciones polinómicas.
2 Se cumple que 
, por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy
3 Calculamos las derivadas de las funciones
4 Evaluamos en la fórmula del teorema de Cauchy
Las raíces son 
5 Tomamos 
, ya que 
Como 
, concluimos que el valor buscado es 
Ejercicios de la regla de L'Hôpital
Resolver los siguientes límites:
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6
1 Evaluando 
se obtiene la indeterminación
2 Derivamos el numerador y el denominador
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
4 Resolvemos el límite obtenido
7
1 Para 
se obtiene la indeterminación 
2 Derivamos el numerador y el denominador
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
4 Aplicamos nuevamente la regla de L'Hôpital al elemento del denominador
5 Aplicamos nuevamente la regla de L'Hôpital
6 Así, el límite es
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8
1 Para se obtiene la indeterminación 
2 Sumamos las fracciones
Para se obtiene la indeterminación 
3 Calculamos las derivadas
4 Aplicamos la regla de L'Hôpital
Para se obtiene la indeterminación
5 Aplicamos nuevamente la regla de L'Hôpital
9
1 Para se obtiene la indeterminación
2 Calculamos las derivadas
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
10
1 Para se obtiene la indeterminación
2 Calculamos las derivadas
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
11
1 Para se obtiene la indeterminación 
2 Escribimos 
en términos de senos y cosenos
Para se obtiene la indeterminación
3 Calculamos las derivadas
4 Aplicamos la regla de L'Hôpital
12
1 Escribimos 
en términos de senos y cosenos; luego aplicamos límites
Como 
el límite se simplifica en
2 Para se obtiene la indeterminación 
3 Escribimos 
. Aplicando logaritmo natural y la exponencial obtenemos
4 Escribimos nuevamente el límite y aplicamos que la función exponencial es continua
Ahora resta calcular
5 Para se obtiene la indeterminación . Calculamos las derivadas del numerador y denominador
6 Aplicamos la regla de L'Hôpital
7 Así, el límite buscado es
13
1 Para se obtiene la indeterminación
2 Calculamos las derivadas
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
4 Para se obtiene la indeterminación , por lo que aplicamos de nuevo la regla de L'Hôpital
14
1 Para se obtiene la indeterminación
2 Calculamos las derivadas
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
4 Para se obtiene la indeterminación , por lo que aplicamos de nuevo la regla de L'Hôpital
15
1 Para se obtiene la indeterminación 
. Realizamos la suma de fracciones
Para se obtiene la indeterminación .
2 Calculamos las derivadas
3 Aplicamos la regla de L'Hôpital
4 Para se obtiene la indeterminación , por lo que primero simplificamos y luego aplicamos de nuevo la regla de L'Hôpital
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1 Para se obtiene la indeterminación
2 Escribimos el límite empleando logaritmo natural y la exponencial
3 Escribimos nuevamente el límite y aplicamos que la función exponencial es continua
Ahora resta calcular
4 Para se obtiene la indeterminación . Calculamos las derivadas del numerador y denominador
5 Aplicamos la regla de L'Hôpital
6 Así, el límite buscado es
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1 Para se obtiene la indeterminación 
2 Escribimos el límite empleando logaritmo natural y la exponencial
3 Escribimos nuevamente el límite y aplicamos que la función exponencial es continua
Ahora resta calcular
4 Para se obtiene la indeterminación . Calculamos las derivadas del numerador y denominador
5 Aplicamos la regla de L'Hôpital
Para se obtiene la indeterminación . Aplicamos nuevamente la regla de L'Hôpital
6 Así, el límite buscado es
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4