Teorema del valor medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c pertenece (a, b) tal que:

fórmula del teorema del valor medio

Interpretación gráfica del valor medio

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

teorema del valor medio

solución


2.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?

La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.


3.En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.

sistema de ecuaciones

parábola

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

derivada

teorema del valor medio

operaciones

solución


4.Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.

ecuación de la recta

Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

teorema de valor medio

operaciones

solución


5.Determinar a y b para que la función

función

cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].

En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].

límites laterales

operaciones

En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).

derivadas laterales

solución






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