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Derivada de un logaritmo
Cuando tenemos una función logarítmica
diremos que la formula para derivarla es la siguiente:
Por otro lado, puesto que de la definición de logaritmo tenemos que
entonces
Y de aquí, la formula descrita arriba es equivalente a
Derivada de un logaritmo neperiano
Cuando tengamos la función logaritmo natural o neperiano
entonces, la derivada será
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo. Estas funciones son del tipo
Para derivarla se puede utilizar la siguiente fórmula:
A continuación mostramos como se obtiene la formula anterior:
Primero escribimos la función como
tomamos logaritmo natural por ambos lados y utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia
Derivamos ambos lados y despejamos la derivada de la función
y finalmente al sustituir el valor de 
, obtenemos (1)
Ejemplos de funciones potencial-exponencial
Derivar las funciones:
1 
Escribimos la función como
Tomamos logaritmos
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia
Derivamos en ambas partes
Despejamos la derivada de la función
Y finalmente sustituimos
2 
Escribimos la función como
Tomamos logaritmos
Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia
Derivamos en ambas partes
Entonces
3 
Escribimos la función como
Tomamos logaritmo por ambos lados
Derivamos en ambas partes
Entonces
Ejemplos de calculo de derivadas de funciones logarítmicas
Derivar las siguientes funciones logarítmicas :
1 
Utilizando la formula de la derivada de un logaritmos tenemos que
2 
Escribimos a 
como
entonces
3 
Utilizando las propiedades de logaritmos tenemos que
entonces de la formula para derivar un logaritmo natural
4 
Podemos escribir a como
de las propiedades de logaritmos
y utilizando la formula de derivada para logaritmo
5 
Recordando cual es la derivada de un producto, tendremos que
6 
Utilizando la regla de la cadena
7 
De la derivada de logaritmo natural
8 
Observemos que
entonces
9 
De las propiedades de logaritmos tenemos
entonces
10 
Reescribimos como
entonces
11 
Si escribimos a como
entonces de la definición de logaritmo
Aplicando logaritmo natural a ambos lados
de aquí
y entonces
12 
Escribimos a como
y de la definición de logaritmo
Aplicando logaritmo natural a ambos lados
de aquí
y entonces
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4