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Recordemos que definimos a la función logaritmo 
como la función inversa del exponente 
. Por lo tanto, se cumple la relación
El número 
se conoce como base del exponente. Para más información, consulta nuestra página sobre los logaritmos.
Derivada del logaritmo natural
Si la base del logaritmo es el número de Euler, 
, entonces se logaritmo se conoce como logaritmo natural (o logaritmo neperiano). En este caso lo denotamos
Si 
, entonces la derivada del logaritmo natural es
donde ya estamos tomando en cuenta la regla de la cadena.
En particular, la derivada de 
es
Derivada de un logaritmo de cualquier base
Sabemos que el logaritmo cumple con la siguiente propiedad:
Por lo tanto, si derivamos la expresión anterior, tenemos:
Así, la derivada del logaritmo base 
es
Si tomamos en cuenta la regla de la cadena, entonces la derivada es
Nota: en muchos casos es preferible aplicar algunas propiedades de los logaritmos antes de derivar. Por ejemplo, si tenemos
Entonces utilizamos la propiedad 
para obtener:
con lo que nos evitaríamos hacer la regla del cociente para las derivadas.
Ejercicios resueltos
1 Calcula la derivada de 
Observemos que tenemos una potencia. Aunque es sencillo derivar 
, también podemos utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos:
con lo que la función se puede escribir como
Entonces podemos derivar una expresión un poco más sencilla. Primero utilizamos la linealidad de la derivada (sacamos la constante):
ahora derivamos (con regla de la cadena donde 
):
La derivada de 
es 1, por lo que tenemos
la cual es la derivada que buscábamos.
2 Calcula la derivada de
Antes de derivar, utilicemos la siguiente propiedad del logaritmo
Por lo que la función se escribe como
Ahora derivamos:
Utilizamos la linealidad de las derivadas:
Y ahora derivamos cada expresión:
Luego, tenemos que 
y 
, son lo que tenemos
que es la derivada que buscamos.
3 Calcula la derivada de
Recordemos que la derivada de un logaritmo con base diferente de es ligeramente diferente. Por lo tanto,
Además, tenemos que 
. Por lo que la derivada es
4 Calcula la derivada de
Para encontrar esta derivada, primero vale la pena utilizas propiedades de los logaritmos. En primer lugar
como 
, entonces la función se puede escribir como
Ahora, utilizamos la propiedad 
, para escribir la función como
Ya podemos derivar la función:
Utilizamos la linealidad de la derivada:
Ahora sí derivamos cada expresión:
Luego, tenemos que 
y 
. Sustituyendo, tenemos
que es la derivada que buscábamos.
5 Utilizando derivación implícita y el hecho de que
demuestra que
Empezamos con nuestra función . Deseamos mostrar que
Para esto, aplicamos la función exponencial a ambos lados:
Ahora, usamos derivación implícita en esta expresión
El lado derecho es
Mientras que el lado izquierdo es
Por lo tanto, tenemos
Si dividimos ambos lados por 
, tenemos
Sin embargo, teníamos que 
en (1), por lo que
que era justo lo que queríamos demostrar.
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4