Radicales y sus derivadas
Definimos a la raíz enésima como la función inversa de la enésima potencia. En otras palabras, si tenemos
entonces . Asimismo, denotamos los radicales como . De este modo, si tenemos la función , entonces podemos calcular su derivada utilizando la regla de la derivada de una potencia:
Si notamos que , entonces tenemos
Es decir,
Si tomamos en cuenta la regla de la cadena (con ), entonces
Nota: No es necesario memorizar la fórmula para la derivada de una raíz. Basta con recordar que y luego utilizar la regla de la derivada de una potencia. Sin embargo, podemos ahorrar tiempo al calcular las derivadas si nos aprendemos la fórmula.
Nota: El caso particular de la raíz cuadrada (con ) tiene la derivada
La cual es una derivada bastante común.
Ejercicios resueltos
1 Calcula la derivada de la siguiente función
Para calcular la derivada basta con utilizar la fórmula de la raíz cuadrada.
Notemos que , por lo que . Así, si utilizamos la fórmula con la regla de la cadena, tenemos
2 Calcula la derivada de la siguiente función
Utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena, con y :
es decir
Observemos que, en lugar de utilizar la fórmula, podemos trabajar con la función como
por lo que la derivada sería
como , entonces tenemos
Luego pasamos la potencia negativa al denominador y simplificamos la fracción:
que es exactamente el mismo resultado que habíamos obtenido previamente. Aquí podemos observar que es más rápido derivar si nos aprendemos la fórmula de la derivada de una raíz
3 Deriva la siguiente función
Aquí también utilizamos la fórmula junto con la regla de la cadena. En este caso tenemos , por lo que . Así,
Por lo que
4 Obtén la derivada de la siguiente función
Como en los ejemplos anteriores, sólo es cuestión de aplicar la fórmula con y . Así,
la cual ya no se puede simplificiar.
5 Calcula la derivada de la siguiente función
Notemos que el radicando es una función más complicada que las anteriores. Por este motivo, conviene utilizar la fórmula directamente pero derivar aparte la función
cuya derivada es, por medio de la regla de la cadena,
Por lo tanto, la derivada es
Luego metemos el término dentro de la raíz; por lo tanto, debemos elevarlo a la sexta potencia dentro de la raiz:
La cual es la derivada que buscábamos.
6 Deriva la siguiente función
Al igual que en el caso anterior, conviene primero derivar al argumento de la raiz:
cuya derivada es
De este modo, la derivada de la función es
Metemos el término dentro del radical:
La cual es la derivada que estábamos buscando.
Observa que podemos simplificar, al notar que el radicando cumple
Nota que , por lo que tenemos que
sin embargo no es siempre positivo, por lo que
de esta forma
Que es lo más que se puede simplificar.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4