El proceso de optimización
Optimizar una función consiste en encontrar sus valores máximos y mínimos, esto significa que hay que encontrar los valores en el dominio de la función para los cuales se alcanza el máximo y mínimo en el codominio . El proceso de optimización hace parte de una de las aplicaciones más importante de la derivada. Para lo cual es útil tener a la mano las derivadas mas comunes y utilizadas. En lo siguiente presentaremos un camino para resolver problemas de optimización y haremos varios ejemplos.
- De las condiciones del problema extraer o plantear la función a maximizar o minimizar.
- En el caso de que en el problema intervengan más de una variable, plantear ecuaciones que relacionen las distintas variables del sistema.
- Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una función con una sola variable.
- Encontrar los extremos locales, esto significa que debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante.
- Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Ejercicios propuestos
1De todos los triángulos isósceles de 
de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
y su altura la podemos calcular usando el teorema de Pitagoras, así obtenemos
Con la condición de que el perímetro del triángulo mide
podemos relacionar las variables:
Este resultado lo podemos sustituir en la función:
Para hallar los extremos locales, derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Finalmente con el criterio de la segunda derivada podemos comprobar nuestro resultado. Recordemos que si la segunda derivada tiene signo negativo, entonces obtendremos un máximo local y si la segunda derivada tiene signo positivo tendremos un mínimo local. Así realizamos la 2ª derivada y evaluamos en
, ya que la solución 
la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en
hay un máximo.La base
mide 
y los lados oblicuos 
también miden 
, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.2Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 
un cuadrado de lado 
y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular para que el volumen de dicha caja sea máximo.
, 
y como altura a , así nuestra función es
Notemos que en este problema solo interviene una variable, así que podemos pasar directamente a buscar los extremos locales. Recordemos que para esto debemos derivar nuestra función e igualar la ecuación resultante a cero.
Esta ecuación la podemos resolver utilizando la fórmula 
Lo cual nos da las siguientes dos soluciones
Notemos que la solución 
no es validad ya que tendríamos que el lado seria negativo. De esta forma nuestro único extremo local es 
.
Calculando la segunda derivada de la función 
y evaluando en , obtenemos
Así el criterio de la segunda derivada nos dice que tenemos un máximo local en 
3Una hoja de papel debe tener 
de texto impreso, márgenes superior e inferior de 
de altura y márgenes laterales de 
de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
Ahora de las condiciones del problema debemos extraer ecuaciones que relacionen las variable. De la imagen y ya que debemos tener de texto impreso podemos concluir que
Despejando para 
, se sigue que 
Al remplazar en la función 
obtenemos 
Ahora podemos derivar la función para encontrar los extremos locales
Igualamos la derivada a cero
Esto significa que debemos resolver la ecuación 
. Notemos que
Por tanto nuestras soluciones son 
y 
. Debemos rechazar la solución pues es negativa. Por lo tanto tenemos una sola solución a nuestro problema. Dado esto no tenemos necesidad de calcular la segunda derivada y podemos concluir que en y 
encontramos las dimensiones que minimizan la superficie de papel.
4Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero menos el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
y el segundo número . Ya el quíntuplo del cuadrado del primero menos el séxtuplo del cuadrado del segundo debe ser mínimo entonces nuestra función es
Y relacionamos las dos variables a través de la condición, 
se descompone como la suma de dos números, esto es,
Luego remplazamos el valor de
y obtenemos
Derivando la función tenemos 
Finalmente debemos resolver la siguiente ecuación 
, se consigue la siguiente solución,
Y podemos saber el valor también, 
. Así que 
es la solución a nuestro problema. Al comprobar con el criterio de la segunda derivada se tiene que 
, lo cual nos dice que es un mínimo de la función .
5El valor de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un diamante de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos diamantes formados sea mínima.
es el peso de un diamante. Ya que el valor del diamante es proporcional al cuadrado del peso, entonces el valor de nuestro diamante debe estar dado por 
, donde 
es una constante positiva de proporcionalidad. Al dividir un diamante de 
en dos partes de pesos y , tenemos una ecuación que nos relaciona, no solo pesos de las partes, si no también sus valores,
De esta forma los valores de cada una de las partes son,
Y la función que deseamos optimizar es la dada por la suma de dichos valores, 
Para encontrar los valores extremos de esta función debemos derivar e igualar a cero,
Como podemos ver hemos obtenido una solución 
para nuestro problema. Para comprobar que esta solución nos da un mínimo valor, hallamos la segunda derivada y checamos que es positiva, en efecto,
De esta forma el diamante se ha de dividir en dos partes iguales de 1 g.
6Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.
Ya que sus bases estan construidas mediante dos placas circulares de radio 
, tenemos que la ecuación que relaciona las variables es
Remplazando en la función , se sigue que 
Ahora derivamos e igualamos a cero para hallar los valores extremos
Al solucionar la ecuación anterior obtenemos que,
Finalmente debemos evaluar la segunda derivada en 
para comprobar que aquí obtenemos un máximo para la función volumen,
Ya que la segunda derivada arroja un valor negativo entonces concluimos que hay un máximo en 
para la función volumen.
7Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Ya que lata debe contener un litro entonces su volumen es igual a 
, por lo cual
Luego despejando 
, se sigue que 
Al deriva la función 
tenemos que
Para hallar los valores extremos igualamos la ecuación anterior a cero y despejamos el valor de 
Luego podemos obtener el valor de usando el valor de , así 
Al comprobar con el criterio de la segunda derivada tenemos que
Por lo tanto con 
obtenemos que las dimensiones de la lata son mínimas.
8Se tiene un alambre de 
de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
y el círculo tiene radio , entonces la función a optimizar es:
Ya que el alambre tiene una longitud de un 
, entonces la suma de los perímetros del círculo y el cuadrado nos da la ecuación que relaciona las variables,
Remplazando en se sigue, 
El siguiente paso es derivar la función e igualar a cero, para hallar los valor extremos,
Con este valor para podemos concluir que
Trozo del círculo=
y
Trozo del cuadrado=
La parte final para este caso de minimizar, como siempre, en este tipo de problemas es encontrar la segunda derivada y checar que es positiva en los valores encontrados
9Un sector circular tiene un perímetro de 
. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.
Ya que le perímetro es 
, entonces
Al remplazar en la función , se sigue que 
El siguiente paso es derivar la función e igualar a cero para encontrar un valor extremo,
Después de obtener un valor para podemos obtener valores para y 
En este caso la segunda derivada de es constante y negativa,
Por lo tanto podemos concluir que los valores antes encontrados nos dan un valor máximo para la función .
10Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 
La figura nos muestra un triángulo rectángulo formado usando el radio del círculo, un lado del triángulo y su altura. Usando el teorema de Pitagoras se sigue que
Al remplazar en tenemos que 
Como siempre el siguen paso es derivar
Al igualar a cero concluimos que,
Con estos valores podemos decir lo siguiente sobre los valores del triángulo,
Base: 
,
Lado: 
Para concluir o comprobar que estos valores nos dan un máximo para el área debemos evaluar la segunda derivada en 
y obtener un valor negativo, en efecto,
11Un triángulo isósceles de perímetro 
, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
Ya que el perímetro es 
y el triángulo gira alrededor de su altura, de la figura obtenemos lo siguiente
Al combinar estas ecuaciones se sigue que,
Ya que tenemos todas las variables en términos de
, podemos remplazar en la función volumen,
Lo siguiente es derivar,
Al igualar a cero obtenemos los siguientes valores para
y para la base del triángulo, Base: 
,
Para comprobar que en 
obtenemos un máximo, debemos evaluar la segunda derivada de es este valor y obtener un valor negativo,
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Y=x³ x=1 ∆x=0.02
Dy= 3x^2 • dx
dy= 3(1)^2 • 0.02
dy= 0.06
Considera la curva de ecuación y=-X³ + 26X y halla sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y= -X.
f(x)= 4x-2
hola me pode hayudar con este problema Realizar la derivada por definición de f(x) = x³+1 en x = 0.
De acuerdo con la definición de derivada de una función
f´(x)=〖lim〗┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
f(x)=1/2 x^3+2x+3
4(x+h)-4x/h =4x+4h-4x/h= 4h/h= 4